本《高等数学》（I）考试大纲适用于陕西师范大学地理科学与旅游学院各相关专业硕士研究生招生考试。高等数学是大学理科学生的最基本课程之一，是大多数理工科专业学生的必修基础课。它的主要内容包：函数与极限、一元函数微分学、一元函数积分学、空间解析几何与向量代数、多元函数微分学、多元函数积分学、无穷级数及常微分方程。

一、考试的基本要求

要求考生熟悉基本概念、掌握基本定理、有较强的运算能力和综合分析解决问题能力。

二、考试方法和考试时间

考试采用闭卷笔试形式，试题题型包括：选择题、判断题、填空题、计算题、应用题及证明题等。试卷满分为150分，考试时间为180分钟。

三、考试内容

（一）   函数与极限

1.           映射、函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性，复合函数和反函数的概念，基本初等函数的性质及其图形。

2.           数列极限的概念及收敛数列的性质。

3.           函数的极限及其性质。

4.           无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念，用等价无穷小求极限。

5.           极限运算法则。

6.           极限存在准则，用两个重要极限求极限。

7.           函数连续的概念、间断点的概念、判别间断点的类型。

8.           连续函数的运算与初等函数的连续性。

9.           闭区间上连续函数的性质(有界性定理、零点定理、介值定理，最大最小值定理)。

（二）   一元函数微分学

1． 导数的概念、几何意义、函数的可导性与连续性之间的关系。

2． 导数的四则运算法则和复合函数的求导法则、反函数的导数，高阶导数。

3． 隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数。

4． 微分的概念、几何意义，微分的四则运算法则。

5． 罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)定理、柯西(Cauchy)定理和泰勒(Taylor)定理。

6． 用洛必达(L’Hospital)法则求不定式的极限。

7． 函数极值的概念，用导数判断函数的单调性和求极值的方法，求解简单的最大值和最小值的应用问题。

8．  用导数判断函数图形的凹凸性，求拐点，描绘函数的图形。

（三）   一元函数积分学

1． 原函数与不定积分的概念及性质、不定积分基本公式、换元法和分步积分法。

2． 简单有理函数及三角函数有理式的积分。

3． 定积分的概念及性质、函数可积的条件。

4． 变限积分的定义及其求导、牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式。

5． 定积分的换元法和分步积分法。

6．  反常积分的概念及其敛散性。

7．  用定积分计算一些几何、物理量(如面积、体积、弧长、功、引力等)的方法

（四）   空间解析几何与向量代数

1． 向量的概念及其表示、向量的线性运算、空间直角坐标系。

2． 向量的数量积、向量积。

3． 曲面方程的概念、常用二次曲面的方程及其图形、以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。

4． 空间曲线的参数方程和一般方程。

5．  平面方程和直线的方程及其求法。

6．  空间直线及其方程、直线的夹角，直线与平面的夹角。

（五）   多元函数微分学

1． 多元函数的概念、二元函数的极限与连续性的概念。

2． 偏导数的概念与计算。

3． 复合函数偏导数的求法。

4． 求隐函数(包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数)的偏导数。

5． 曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线。

6． 方向导数与梯度的概念及其计算方法。

7． 多元函数极值与条件极值的概念，求多元函数的极值，求条件极值的拉格朗日乘数。

（六）   多元函数积分学

1． 二重积分的概念及性质。

2． 二重积分的计算方法(包括直角坐标、极坐标情形)、三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

3．  三重积分的概念、性质与计算。

4．  用重积分求一些几何量与物理量。

（七）   无穷级数

1． 无穷级数收敛、发散以及和函数的概念、无穷级数基本性质及收敛的必要条件。

2． 常数项级数的审敛法、交错级数的莱布尼兹定理。

3． 函数项级数的收敛域及和函数的概念、幂级数收敛域的求法，幂级数在其收敛区间内的基本性质。

4．  函数展开为幂级数。

5．  函数展开为Fourier 级数、正弦或余弦级数。

（八）   常微分方程

1． 微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念。

2． 变量可分离的方程。

3． 解齐次方程。

4． 一阶线性方程的解法，掌握常数变易法。

5． 用降阶法解一些特殊的高阶方程。

6．  线性微分方程解的结构。

7．  二阶常系数齐次线性方程的解法。

四、掌握重点

（一）   数列与函数的极限、连续函数及闭区间上连续函数的性质

（二）   导数概念、性质及应用、隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数

（三）   微分中值定理及其应用

（四）   定积分概念、性质及应用、变限积分的定义及其导数

（五）   反常积分的概念及其敛散性

（六）   向量的数量积、向量积、平面方程和直线的方程及其求法

（七）   常数项级数收敛性、函数项级收敛性

（八）   多元函数极限与连续性、曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线

（九）   二重积分的计算方法(包括直角坐标、极坐标情形)、三重积分的计算

（十）   微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念、可分离变量的方程、一阶线性方程的解法

五、主要参考书目

[1]       同济大学应用数学系．《高等数学》（上、下册）．高等教育出版社．

[2]       柴俊（主编）．《高等数学》． 科学出版社．

[3]       上海交通大学数学系．《高等数学》（第二版）．上海交通大学出版社．

[4]       同济大学应用数学系．《高等数学习题全解指南》（上、下册）．高等教育出版社．

课程顾问：吴老师
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