南开大学数学学院数理经济硕士研究生入学考试科目大纲

　　数学分析高等代数

　　一、考试方法和考试时间

　　数学分析高等代数考试采用闭卷笔试形式，试卷满分为150分，考试时间为180分钟，其中数学分析占60%，90分，高等代数占40%，60分。

　　二、考试内容大纲

　　(一)数学分析

　　1、一元微积分

　　(1)数列的极限;函数与函数的极限;无穷大与无穷小;连续与间断，连续函数及其性质、一致连续

　　(2)导数、求导公式、求导法则、高阶导数;微分、微分中值定理;函数的单调性、极值、

　　函数的凸性;洛必达法则;泰勒公式

　　(3)实数理论及其应用：确界原理、子列、有限覆盖定理、闭区间上连续函数性质、上极限和下极限

　　(4)不定积分的概念;换元积分法、分部积分法;有理函数的积分、三角函数有理式的积分、无理函数的积分

　　(5)定积分的计算与性质;微积分基本定理;定积分的应用;广义积分;含参变量积分

　　2、多元微积分

　　(1)多元函数极限与连续;偏导数、全微分;多元函数的泰勒公式;隐函数存在定理;多元函数极值和条件极值

　　(2)重积分的概念与性质;二重积分的计算、三重积分的计算、重积分的应用;第一型曲线积分、第二型曲线积分;第一型曲面积分、第二型曲面积分;曲线积分与路径无关的条件;Green公式、高斯公式、斯托克斯公式

　　3、级数

　　数项级数的敛散判别与性质;函数项级数与一致收敛性;幂级数

　　(二)高等代数

　　1、行列式

　　行列式的概念、性质与计算;行列式按行(列)展开定理;拉普拉斯(Laplace)定理

　　2、矩阵

　　矩阵的概念与基本运算;单位矩阵、矩阵的转置、伴随矩阵、逆矩阵;矩阵可逆的充分必要条件;矩阵的初等变换、初等矩阵、矩阵等价、矩阵的秩;初等变换求矩阵的秩和逆矩阵的方法;分块矩阵

　　3、向量

　　向量的概念、向量的线性组合和线性表示;向量组的线性相关与线性无关、向量组的极大线性无关组、等价向量组、向量组的秩;向量组的秩与矩阵的秩之间的关系

　　4、线性空间与欧几里德空间

　　线性空间、线性空间的维数、基与向量的坐标;线性空间中的基变换与坐标变换、过渡矩阵;欧几里德空间、内积、线性无关向量组的正交化方法、标准正交基、正交矩阵及其性质

　　5、线性方程组

　　线性方程组的克莱姆法则;齐次线性方程组有非零解的充分必要条件、非齐次线性方程组有解的充分必要条件;线性方程组解的性质和解的结构、齐次线性方程组的基础解系和通解、解空间;非齐次线性方程组的通解;求解线性方程组的方法

　　6、矩阵的特征值和特征向量

　　矩阵的特征值和特征向量的概念、求法;相似变换、相似矩阵的概念及性质、若当标准型;矩阵可对角化的充分必要条件

　　7、二次型

　　二次型及其矩阵表示;二次型的秩、惯性定理、二次型的标准形和规范形、二次型的标准化方法;实对称矩阵的正定性及其判别