广东财经大学硕士研究生入学考试试卷

考试年度：2017年  　　考试科目代码及名称：807-概率论与数理统计(自命题)  

适用专业：071400 统计学

［友情提醒：请在考点提供的专用答题纸上答题，答在本卷或草稿纸上无效！］

一、填空题（10题，每题2分，共20分）

1. 已知P(A)=a, P(B)=b, P(A+B)=c,则P()=      。

2. 设有10个零件，其中3个是次品，任取2个，2个中至少有1个是正品的概率为      。     

3. 如果每次实验的成功率都是p，并且已知在三次独立重复试验中至少成功一次的概率为26/27，则p=      。

4. 设连续型随机变量X的分布函数为，则当时，X的概率密度      。

5. 设二维随机变量（X, Y）的概率密度函数为

则c=      。

6. 若D(X)=0.009，利用契比雪夫不等式知      。

7. 设总体X的方差为1，从中抽取一个容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5。则X的数学期望的置信度为0.95的置信区间为      。(u0.95=1.65, u0.975=1.96)

8. 设和是未知参数的两个无偏估计，如果，则更为有效的估计是      。

9. 设0.01是假设检验中犯第一类错误的概率，H0为原假设，则=      。

10. 已知一元线性回归方程为,且=2, =8，则=______。

二、选择题（5题，每题2分，共10分）

1. 设随机变量X服从参数λ=2的指数分布，则下列结论中正确的是（      ）

    A．， B．，

    C．， D．，

2. 下列函数中，可以作为某一随机变量的概率密度函数的是（    ）

    A.             B.

    C.           D.

3. 设随机变量X与Y相互独立，且X～B(16，0.5)，Y服从参数为9的泊松分布，则D(X-2Y+3)=(      )

    A. -14           B. -11          C. 40           D. 43

4. 设随机变量X服从正态分布N(μ, σ2)，则随σ的增大，概率（    ）

    A. 单调增大    B. 单调减小    C. 保持不变    D. 非单调变化

5. 设总体X和Y都服从正态分布N(0,32)，而x1, x2, ... , x9和y1, y2, ... , y9分别是来自总体X和Y的简单随机样本，则统计量 服从（    ）

    A. t(9)           B. t(8)        C. χ2(9)        D. χ2(8)

三、计算题（6题，每题10分，共60分）

1. 设随机变量X的概率密度函数为

求：（1）X的分布函数；（7分）

（2）X的取值落在区间[]的概率。（3分）

2. 一矿工被困在有三个门的矿井里。第一个门通一坑道，沿此坑道走2个小时可到达安全区；第二个门通一坑道，沿此坑道走3个小时又回到原处；第三个门通一坑道，沿此坑道走7个小时也回到原处。假定矿工总是等可能地在三个门中选择一个，试求他平均要用多少时间才能到达安全区。

3. 两台车床加工同样的零件，第一台出现不合格品的概率是0.03，第二台出现不合格品的概率是0.06，加工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件数比第二台加工的零件数多一倍。

（1）求任取一个零件是合格品的概率；（6分）

（2）如果取出的零件是不合格品，求它是由第二台车床加工的概率。（4分）

4. 设X与Y的联合密度函数为

求：（1）边际密度函数和；（8分）

（2）X与Y是否独立？（2分）

5. 已知随机变量X~N(2,4)，Y~N(3,9)，X和Y的相关系数=-0.5。设,求的方差。

6. 设总体概率密度函数为，其中c>0为已知，，为未知参数。x1, x2, ... , xn是样本，试求未知参数的最大似然估计。

四、应用题（2题，每题15分，共30分）

1. 已知一批钢管内径服从正态分布N(μ, σ2)，现从中随机抽取10根，测得其内径(单位：mm）分别为

试分别在下列条件下进行显著性水平α=0.05的假设检验，判断该批钢管的平均内径是否等于100mm。（u0.975=1.96,u0.95=1.65，t0.975(9)=2.2622, t0.95(9)=1.8331,  t0.975(10)=2.2281, t0.95(10)=1.8125）

（1）已知σ=0.5；（7分）

（2）σ未知。（8分）

2. 某柜台做顾客调查，设每小时到达柜台的顾额数X服从泊松分布，则X~P（λ），若已知P(X=1)= P(X=2)，且该柜台销售情况Y（千元），满足Y=2X 2+1.

（1）求参数λ的值；（4分）

（2）求一小时内至少有一个顾客光临的概率；（5分）

（3）求该柜台每小时的平均销售情况E(Y).（6分）

五、证明题（2题，每题15分，共30分）

1. 设随机变量X的概率密度函数为

证明：随机变量X与服从同一分布。

2. 设A，B是二随机事件，随机变量

证明：随机变量X和Y不相关的充分必要条件是事件A和B相互独立。

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