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2025年国防科技大学816实变函数考试大纲

新祥旭朱老师17710583059 / 2024-08-19

 一、考试要求

主要考查学生对集与点集的理解与掌握;对 Lebesgue 测度的理解与掌握;对可测函数的理解与掌握;对 Lebesgue 积分的理解与掌握;以及运用基本理论和方法,分析解决问题的能力。

二、考试内容

1.集与点集

掌握集合的各种运算定律;理解映射的像、原像的概念及其运算性质;了解集的对等、势的概念及其性质,会证明可数集的基本问题;掌握一维开集、闭集的性质以及内点、极限点、稠密

性等若干概念;熟悉康脱集的构造及性质。

2.Lebesgue 测度

理解外测度的概念与性质,了解内测度的定义,掌握可测集的定义;掌握可测集与测度的性质;了解不可测集的存在性。

3.可测函数

理解可测函数的概念,掌握函数可测的证明方法;理解“几乎处处”的概念;掌握几乎处处收敛、依测度收敛、近一致收敛的特征、性质以及它们之间的关系;理解 Riesz 定理与叶果洛夫

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定理,并掌握其证明方法;理解可测函数的构造,掌握鲁津定理。

4.Lebesgue 积分

理解Lebesgue积分的定义,掌握Lebesgue积分的基本性质;掌握证明积分基本问题的方法;掌握积分三大极限定理及其基本用法;了解函数常义 R 可积的充要条件,理解 R 积分与 L 积分的

关系,并会用来计算一类 R 积分值与 L 积分值;理解单调函数、有界变差函数的性质、掌握绝对连续函数的基本性质、特征及应用;掌握 Lebesgue 积分意义下的微积分基本定理。

三、考试形式

考试形式为闭卷、笔试,考试时间为 3 小时,满分 150 分。

题型包括:填空题(约 30 分)、证明题(约 100 分)、计算题(约20 分)。

四、参考书目

《实变函数与泛函分析概要》(第一册),郑维行,王声望编.北京:高等教育出版社,2019 年,第五版。

 

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