856 高等代数

一、考试性质

高等代数是数学、统计学硕士研究生入学初试考试的专业基础课程。

二、考查目标

力求反映数学相关硕士学位的特点，科学、准确、规范地测评考生对高等代 数所具有的基本素质和综合能力，具体考查考生对高等代数基础理论的掌握情 况，以及运用高等代数的理论与方法分析问题、解决问题的能力。

在三个层次上测试考生对高等代数理论的掌握程度和运用能力。三个层次的 基本要求分别为：

1、基本概念和基本理论的理解、掌握；

2、运用基本理论解决基础性问题的分析、计算和推理能力；

3、综合运用高等代数知识分析问题、解决问题的能力。

三、考试形式

本考试为闭卷考试，满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。

试卷结构：

（1）试卷分值构成：

多项式理论部分约占分值 20 分；

矩阵理论部分约占分值 60 分；

线性空间理论部分约占分值 70 分。

（2）题型包括：填空题，简答题，计算题，证明题等。

四、考试内容

（一）多项式理论

1、一元多项式的一般理论

概念、运算、导数及基本性质；

2、整除理论

整除的概念、最大公因式、互素的概念与性质；

3、因式分解理论

不可约多项式、因式分解、重因式、实系数与复系数多项式的因式分解、有 理系数多项式不可约的判定等；

4、根的理论

多项式函数、多项式的根、有理系数多项式的有理根的求法、根与系数的关 系等；

5、多元多项式的一般理论

多元多项式概念、对称多项式。

（二）矩阵理论

1、行列式理论与计算

行列式的概念、性质以及计算；Cramer 法则，拉普拉斯定理。

2、线性方程组

向量、向量组的线性相关与无关；线性方程组的解的结构。

3、矩阵

矩阵的各种运算及运算规律，矩阵的秩，矩阵的逆，分块矩阵的相应运算及 性质。

4．二次型

二次型基本概念，配方法、合同变换法化二次型为标准形，惯性定理，正定、

半正定、半负定二次型与矩阵的判定。

（三）线性空间理论

1、线性空间

线性空间的定义与性质；线性相关性及有关结论；秩与极大线性无关组；线 性空间的基与维数；基变换与坐标变换公式；线性子空间；子空间的交、和与直 和；线性空间的同构。

2、线性变换

线性变换的定义及其基本性质；线性变换的运算；线性变换的矩阵；相似矩 阵；矩阵的特征值与特征向量；线性变换的特征值与特征向量；哈密顿-凯莱定 理；相似对角化；线性变换的值域与核；不变子空间；不变子空间与线性变换的 矩阵的化简；若尔当标准形；最小多项式。

3、矩阵

矩阵的概念；矩阵的等价；矩阵在初等变换下的标准形、不变因子与 行列式因式；矩阵的初等因子；求矩阵的标准形的方法；矩阵相似的充分必要 条件；矩阵若尔当标准形与有理标准形。

4、欧几里得空间

内积和欧几里得空间；长度、夹角与正交；度量矩阵；标准正交基；正交矩 阵；欧氏空间的同构；正交变换；正交子空间与正交补；实对称矩阵的标准形； 对称变换；向量到子空间的距离；最小二乘法。

五、是否需使用计算器

否。